На доске написано число 23 каждую минуту число стирают

Олимпиада по математике 10 класс

1. Решите уравнение   (7баллов)
2. На доске написано число 98. Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?   (7баллов)
3. Докажите, что куб можно разрезать на а) 15 кубов; б) 99 кубов; в) нельзя разрезать на 7 кубов.  (7баллов)
4.  Дано 2004 числа: 1,11,111,…,1…1 (последнее число записано 2004 единицами). Сколько среди них чисел, делящихся на 7?  (7баллов)
5. Даны n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?  (7баллов)

Олимпиада по математике 10 класс

1.Решите уравнение   (7баллов)

2.На доске написано число 98. Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?   (7баллов)

3.Докажите, что куб можно разрезать на а) 15 кубов; б) 99 кубов; в) нельзя разрезать на 7 кубов.  (7баллов)

4. Дано 2004 числа: 1,11,111,…,1…1 (последнее число записано 2004 единицами). Сколько среди них чисел, делящихся на 7?  (7баллов)

5. Даны n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?  (7баллов)

Олимпиада по математике 10 класс

1.Решите уравнение   (7баллов)

2.На доске написано число 98. Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?   (7баллов)

3.Докажите, что куб можно разрезать на а) 15 кубов; б) 99 кубов; в) нельзя разрезать на 7 кубов.  (7баллов)

4. Дано 2004 числа: 1,11,111,…,1…1 (последнее число записано 2004 единицами). Сколько среди них чисел, делящихся на 7?  (7баллов)

5.Даны n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?  (7баллов)

Олимпиада по математике 10 класс

1.Решите уравнение   (7баллов)

2.На доске написано число 98. Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?   (7баллов)

3.Докажите, что куб можно разрезать на а) 15 кубов; б) 99 кубов; в) нельзя разрезать на 7 кубов.  (7баллов)

4. Дано 2004 числа: 1,11,111,…,1…1 (последнее число записано 2004 единицами). Сколько среди них чисел, делящихся на 7?  (7баллов)

5.Даны n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?  (7баллов)

Олимпиада по математике 10 класс

1.Решите уравнение   (7баллов)

2.На доске написано число 98. Каждую минуту число стирают и вместо него записывают произведение его цифр, увеличенное на 15. Какое число окажется на доске через час?   (7баллов)

3.Докажите, что куб можно разрезать на а) 15 кубов; б) 99 кубов; в) нельзя разрезать на 7 кубов.  (7баллов)

4. Дано 2004 числа: 1,11,111,…,1…1 (последнее число записано 2004 единицами). Сколько среди них чисел, делящихся на 7?  (7баллов)

5.Даны n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки этих точек?  (7баллов)

Ответы и указания 10 класс

1.-1;-12.

Перепишем уравнение в виде. Очевидно, что число х = 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив  обе части  уравнения на      х2,       получим

   (х+8+12/х)(х+7+12/х)=30

2. Число 23.

Начнем выписывать последовательность чисел, появляющихся на доске в указанном в условии процессе: 98 => 87 => 71 => 22 ==> 19 ==> 24 => 23 => 21 => 17 ==> 22 =>… Поскольку повторилось число 22, оно и дальше будет появляться через каждые 6 шагов (6 минут). Так как до первого появления числа 22 прошли еще три минуты, за 1 час (60 минут) произойдет 60 = 3 + 6∙9 + 3   смен чисел, так что на доске будет число 23, стоящее на четвертом месте в периоде (через 3+54=57 минут в последний раз появится число22, а затем произойдет смена чисел)

3. а) Разрезать на 8 кубиков, из которых один еще раз разрезать на 8 кубиков. 6) Разрезать на 64 кубика из которых 5 разрезать на 8кубиков, в) При разрезании на 7 кубиков каждая из 8 вершин исходного куба должна стать вершиной меньшего куба, при этом никакие две вершины исходного куба не могут принадлежать одному кубику. Поэтому при любом разрезании одна из вершин куба оказывается «лишней».

4. Ответ 334. Наименьшее число, делящееся на 7 состоит из шести единиц.

5.   (n(n – 1)(n – 2))/6